รากฐานของพีชคณิตเชิงเส้นอยู่บนความเข้าใจที่แตกต่างกันสองแบบ แต่ให้ผลลัพธ์ทางคณิตศาสตร์เท่ากันของสมการ $Ax = b$ เราจะเปลี่ยนจากแนวคิดเดิม ภาพมุมมองแถว (Row Picture)ซึ่งเราหาจุดตัดของระนาบเชิงเรขาคณิต (hyperplanes) ไปสู่ ภาพมุมมองคอลัมน์ (Column Picture)ซึ่งมองเมทริกซ์ $A$ เป็นชุดของเวกเตอร์ฐานที่ถูกนำมาผสมผสานแบบเชิงเส้นเพื่อสร้างเวกเตอร์เป้าหมาย $b$
1. รูปทรงเรขาคณิตของคำตอบ
ในมุมมอง มุมมองแถว (Row Perspective)สมการแต่ละสมการในระบบที่มีขนาด 3×3 แทนระนาบหนึ่งใน $\mathbb{R}^3$ คำตอบ $x = (2, 3, 4)$ คือจุดเดียวที่สามระนาบนี้ตัดกัน ทางคณิตศาสตร์ $b$ จะคำนวณทีละแถวโดยใช้ ผลคูณภายใน (inner product) (ผลคูณระหว่างแถวและคอลัมน์):
$b = [A(1, :) * x; A(2, :) * x; A(3, :) * x]$
ในทางกลับกัน มุมมอง ภาพมุมมองคอลัมน์ (Column Picture) ตีความ $Ax = b$ ว่าเป็นการขอให้หาการรวมแบบเชิงเส้นเฉพาะเจาะจงของเวกเตอร์คอลัมน์: $b = A(:, 1)x_1 + A(:, 2)x_2 + A(:, 3)x_3$ เมทริกซ์ $A$ ถือว่าเป็นชุดของทิศทาง และตัวแปร $x_i$ คือค่าน้ำหนัก (สเกลาร์) ที่กำหนดเพื่อไปถึงจุดหมาย $b$ ตามที่เน้นไว้ในหลักการสำคัญ: มุมมองคอลัมน์: $Ax = b$ ถามหาการรวมกันของคอลัมน์เพื่อสร้าง $b$
พิจารณา $A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 2 \end{bmatrix}$ การคำนวณ $ad - bc$ ได้ $2 - 2 = 0$ เมทริกซ์นี้เป็นเมทริกซ์ที่ไม่สามารถหาอินเวอร์สได้ (สิง귤าร์) ในมุมมองแถว เส้นตรงขนานกัน ในมุมมองคอลัมน์ คอลัมน์ทั้งสองอยู่บนเส้นเดียวกัน ดังนั้นเราไม่สามารถไปถึง $b$ ที่ไม่อยู่บนเส้นนั้นได้
2. เมทริกซ์ $A$ เป็นการแปลงเชิงเส้น
การคูณเวกเตอร์ด้วยเมทริกซ์ $A$ ไม่ใช่แค่การคำนวณอย่างเดียว แต่เป็น การแปลงเชิงเส้น (linear transformation)ซึ่งสอดคล้องกับหลักการเชิงเส้น: $Aw = cAu + dAv$ (เมื่อ $w = cu + dv$) สิ่งนี้ยืนยันว่า $A$ เป็นตัวดำเนินการที่แปลงเวกเตอร์จากอวกาศหนึ่งไปยังอีกอวกาศหนึ่ง อาจเกี่ยวข้องกับการหมุนหรือการฉายภาพ (แผนภาพ หน้า 42)
- กฎของมิติ: $(m \times n)(n \times p) = (m \times p)$ (หน้า 72)
- องค์ประกอบเอกลักษณ์: เวกเตอร์ฐานมาตรฐาน $e_1 = [1,0,0]^T, e_2 = [0,1,0]^T, e_3 = [0,0,1]^T$ กำหนดมิติของอวกาศนี้ (แผนภาพ หน้า 80)
- ข้อสังเกตขั้นสูง: สูตรวูดเบอรี-มอร์ริสันเป็น 'กฎของอินเวอร์สเมทริกซ์' ในวิศวกรรม ใช้ในการอัปเดตอินเวอร์สหลังจากเปลี่ยนแปลงเมทริกซ์ $A$ อย่างเล็กน้อย